За кулисами: про определение фрактала
В 1982 году Бенуа Мандельброт дал такое определение: фрактал — это множество, у которого размерность Хаусдорфа строго больше топологической размерности. У отрезка обе равны 1, у треугольника Серпинского хаусдорфова $\approx 1{.}585$, топологическая 1.
Зачем изобретать такое сложное определение? Самоподобие плохо формализуется. Множество Мандельброта (в этой галерее его нет, но оно лицо всей фрактальной геометрии) — самоподобно только приближённо: его уменьшенные внутренние копии похожи на целое, но не равны ему. Определение через две размерности гораздо универсальнее.
Топологическая размерность — это привычная размерность: 0 для точек, 1 для линии, 2 для поверхности и так далее. В наших примерах она очевидна и отдельно её комментировать не приходится.
Размерность Хаусдорфа сложнее. Для гладких объектов она совпадает с обычной. Для самоподобных множеств её удобно считать так: если объект состоит из $N$ непересекающихся копий самого себя, каждая в $1/r$ раз меньше, то его размерность $d$ удовлетворяет уравнению $N \cdot r^d = 1$.
Экспонаты галереи получены одной общей конструкцией — системой итерируемых функций (IFS). Это конечный набор сжимающих аффинных преобразований $f_1, \dots, f_k$ плоскости. По нему строится отображение $\Phi$, переводящее $X$ в объединение его образов: $\Phi(X) = f_1(X) \cup \dots \cup f_k(X)$.
Если стартовать с произвольного непустого компактного множества $X$, последовательность $X, \Phi(X), \Phi^2(X), \dots$ сходится к одному и тому же предельному множеству $A$, не зависящему от стартового. Оно называется аттрактором системы и удовлетворяет уравнению $A = f_1(A) \cup \dots \cup f_k(A)$. Аттрактор — пример фрактала.